Les limites des fonctions sinus, cosinus et tangente

En mathématiques, on étudie souvent le comportement d'une fonction quand sa variable approche une certaine valeur. On parle alors de limite.

Limite du sinus

Pour tout réel à, la limite de sinus quand x approche a est simplement le sinus de a :

limite de sin(x) quand x → a = sin(a)

Exemple : lorsque x → 0, sin(x) → 0.

Limite du cosinus

De même, la limite du cosinus lorsque x approche a est le cosinus de a :

limite de cos(x) quand x → a = cos(a)

Exemple : lorsque x → 0, cos(x) → 1.

Limite de la tangente

Pour la tangente, la limite quand x approche a est la tangente de a, sauf si la valeur de a provoque une division par zéro, comme avec pi/2 ou -pi/2, où la tangente tend vers +∞ ou -∞ :

limite de tan(x) quand x → a = tan(a), sauf si tan(a) n'est pas défini

Exemple : lorsque x → 0, tan(x) → 0.

Les limites à certains points particuliers

• Lorsque x → pi/2, le sinus est 1, mais la tangente ne se définit pas (division par zéro), la limite de tan(x) quand x → pi/2 est +∞ ou -∞ selon la direction.
• Lorsque x → -pi/2, la tangente tend vers -∞ ou +∞ selon la direction.

Résumé

• limite de sin(x) = sin(a)
• limite de cos(x) = cos(a)
• limite de tan(x) = tan(a) sauf si tan(a) n’est pas défini

Exercice pour vérifier

Calcule la limite suivante : quand x → 0, la valeur de sin(x), cos(x), et tan(x).