Comment montrer qu'une équation admet une solution ?

Pour démontrer qu'une équation admet une solution, c'est-à-dire qu'il existe au moins un nombre qui la vérifie, on utilise souvent le théorème de l'éventail ou des méthodes comme :

• Étudier la continuité de la fonction f(x) associée à l'équation f(x) = 0.
• Calculer la valeur de f(x) pour deux points où l'on obtient des signes opposés : si f(a) < 0 et f(b) > 0 (ou vice versa), alors par le Théorème des valeurs intermédiaires, il existe un c entre a et b tel que f(c) = 0.

Exemple

Considérons l'équation f(x) = x² - 2.

Calculons f(1) et f(2) :

• f(1) = 1² - 2 = -1 < 0
• f(2) = 2² - 2 = 2 > 0

Les valeurs de f(1) et f(2) ont des signes opposés, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Donc, l'équation x² - 2 = 0 admet une solution dans [1, 2].

Petite exercice

Vérifie si l'équation x³ - 3x + 1 = 0 admet une solution en calculant f(-2) et f(0).