Comment montrer qu'un nombre est irrationnel

Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire comme un quotient de deux entiers (c'est-à-dire sous la forme a/b avec b ≠ 0).

Méthode principale pour montrer qu'un nombre est irrationnel :

1. Supposer par l'absurde que le nombre est rationnel, donc qu'il s'écrit a/b avec a et b entiers sans facteur commun.
2. Utiliser cette hypothèse pour déduire une propriété qui contredit la définition des entiers (par exemple, que a et b ont un facteur commun).
3. Conclure que l'hypothèse est fausse, donc le nombre est irrationnel.

Exemple simple : montrer que √2 est irrationnel

Supposons que √2 = a/b avec a et b entiers sans facteur commun.

Alors : (√2)² = (a/b)² ⇒ 2 = a² / b² ⇒ a² = 2b².

Donc a² est pair, donc a est pair (car le carré d'un nombre impair est impair).

Si a est pair, on peut écrire a = 2k, alors :

a² = (2k)² = 4k² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ 2k² = b².

Donc b² est pair, donc b est pair.

Mais alors a et b sont tous les deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils n'ont pas de facteur commun.

Conclusion : √2 est irrationnel.

Exercice pour vérifier ta compréhension :

Montre que √3 est irrationnel en suivant la même méthode.