Résolution des suites numériques avec le raisonnement récurrent

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une liste d'éléments appelés termes, notés généralement uₙ, où n est un entier naturel (1, 2, 3, ...). Chaque terme dépend souvent du terme précédent selon une règle précise.

Le raisonnement récurrent

Le raisonnement récurrent est une méthode pour définir ou trouver les termes d'une suite en partant de :

• un terme initial connu, souvent appelé u₁
• d'une règle qui relie chaque terme au terme précédent, par exemple : uₙ₊₁ = f(uₙ)

Comment faire ?

1. Définir une initialisation : connaître ou déterminer le premier terme u₁.
2. Établir la règle de récurrence : exprimer uₙ₊₁ en fonction de uₙ.
3. Calculer les termes suivants : en utilisant la règle de récurrence pour trouver u₂, u₃, etc.

Exemple simple

Supposons que la suite est définie par :
u₁ = 2
et pour tout n ≥ 1, uₙ₊₁ = uₙ + 3

> Comment trouver les premiers termes ?

• u₁ = 2
• u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5
• u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8
• u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11

Les termes suivent la règle : chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au terme précédent.

Petit exercice pour vérifier

La suite est définie par :
u₁ = 4
et pour tout n, uₙ₊₁ = 2 × uₙ

Question : Calculez u₂ et u₃.