Résolution d'un système d'équations et inéquations du second degré

1. Résolution d'une équation du second degré

Une équation du second degré a la forme : ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des nombres connus et a ≠ 0.

Pour la résoudre, on utilise le discriminant Δ (= b² - 4ac), et la formule des racines :

• Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes :
• x₁ = (-b - √Δ) / (2a)
• x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
• Si Δ = 0 : une solution réelle unique :
• x = -b / (2a)
• Si Δ < 0 : pas de solutions réelles, mais des solutions complexes.

Exemple : Résoudre 2x² - 4x + 1 = 0

• a = 2, b = -4, c = 1
• Δ = (-4)² - 4*2*1 = 16 - 8 = 8
• Solutions : x₁ = (4 - √8)/(4), x₂ = (4 + √8)/(4)

2. Résolution d'une inéquation du second degré

Une inéquation du second degré a la forme : ax² + bx + c >, <, ≥, ou ≤ 0.

La résolution consiste à :

1. Résoudre l'équation ax² + bx + c = 0 pour connaître ses racines x₁ et x₂.
2. Analyser le signe de l'expression en fonction du parabole :
• Si a > 0, la parabole ouvre vers le haut : la fonction est négative entre ses racines et positive en dehors.
• Si a < 0, la parabole ouvre vers le bas : la fonction est positive entre ses racines et négative en dehors.
3. Donner la solution en fonction du symbole : > 0, < 0, ≥ 0 ou ≤ 0.

Exemple : Résoudre l'inéquation x² - 5x + 6 < 0

• Résoudre l'équation : x² - 5x + 6 = 0
• Δ = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1
• Racines : x₁ = (5 - 1)/2 = 2, x₂ = (5 + 1)/2 = 3
• La parabole ouvre vers le haut (a=1). La fonction est négative entre ses racines :
• Solution : x ∈ (2, 3)

3. Résoudre un système d’équations et inéquations du second degré

Le but est de trouver une ou plusieurs valeurs de x qui satisfont en même temps toutes les conditions données (équations et inéquations).

La méthode consiste généralement à :

1. Résoudre chaque équation ou inéquation séparément pour connaître leurs solutions.
2. Comparer ces solutions pour déterminer l'intersection, c’est-à-dire l'ensemble des valeurs qui satisfont toutes les conditions.

Exemple : Résoudre le système :

• x² - 4 ≤ 0
• x - 1 > 0

Étape 1 : Résoudre x² - 4 ≤ 0 :

• équation : x² = 4
• racines : x = ±2
• donc, parabole ouverte vers le haut, et la parabole est inférieure ou égale à 0 entre ses racines :
• Solution : x ∈ [-2, 2]

Étape 2 : Résoudre x - 1 > 0 :

• x > 1

En combinant : x doit être dans [-2, 2] ET supérieur à 1, donc l'ensemble solution est :

• x ∈ (1, 2]

Résumé

• Pour résoudre une équation du second degré, calcule le discriminant et trouve les racines.
• Pour une inéquation du second degré, analyse le signe en utilisant la forme factorisée ou le tableau de signes.
• Pour un système, résous chaque condition séparément et cherche l’intersection de leurs solutions.