Résolution d'une équation du troisième degré dans l’ensemble des nombres complexes

Une équation du troisième degré (ou cubique) a la forme générale :
ax³ + bx² + cx + d = 0

où a, b, c et d sont des nombres complexes, et a ≠ 0.

Étape 1 : Normaliser l'équation

Diviser toute l'équation par a pour obtenir une forme simplifiée :
x³ + px² + qx + r = 0,
où :

• p = b / a
• q = c / a
• r = d / a

Étape 2 : Changer de variable pour éliminer le terme en x²

Effectuer la substitution :
x = y - p/3

Ce qui donne une nouvelle équation en y :

y³ + py + q = 0

avec :

• p = (3q - p²) / 3
• q = (2p³ - 9pq + 27r) / 27

Étape 3 : Calcul du discriminant

Calculer le discriminant Δ :

- Δ = (q/2)² + (p/3)³

Selon la valeur de Δ, on procède différemment :

• Si Δ > 0 : il y a une racine réelle et deux complexes conjuguées.
• Si Δ = 0 : toutes les racines sont réelles et au moins deux sont égales.
• Si Δ < 0 : toutes les racines sont complexes et distinctes.

Étape 4 : Trouver les racines

Calculer :

• u = ∛(-q/2 + √Δ)
• v = ∛(-q/2 - √Δ)

Puis en utilisant ces valeurs, on trouve la racine principale :

y₁ = u + v

Les autres racines peuvent être trouvées en utilisant des cube roots de coefficients, souvent en introduisant la racine cube de unité (ω), qui vérifie ω³ = 1 :

• y₂ = ωu + ω²v
• y₃ = ω²u + ωv

Enfin, en retournant à x :
x = y - p/3

Exercice d'application :

Résoudre l'équation suivante dans l’ensemble des nombres complexes :
x³ - 3x + 2 = 0

Étapes :
1. Normaliser (ici, c'est déjà normalisé).
2. Changer de variable (x = y + 0 si p=0).
3. Calculer le discriminant et déterminer la nature des racines.
4. Trouver les racines.