Comment résoudre une équation du second degré en fraction

Une équation du second degré (ou quadratique) se présente généralement sous la forme
ax² + bx + c = 0

où a, b, et c sont des nombres, et a ≠ 0. Lorsqu'il y a des fractions dans l'équation, il est souvent utile de se débarrasser des dénominateurs pour simplifier le calcul.

Étapes pour résoudre une équation du second degré avec des fractions

1. Identifier l'équation et écrire toutes les fractions bien en évidence.
2. Multiplier chaque terme par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
3. Réduire l'équation obtenue à une forme standard ax² + bx + c = 0.
4. Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.
5. Selon le discriminant :
• Si Δ > 0, il y a deux solutions réelles : x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
• Si Δ = 0, il y a une solution unique : x = -b / (2a)
• Si Δ < 0, il n'y a pas de solutions réelles (solutions complexes).

Exemple pratique

Résoudre l'équation :

(1/2) x² + (3/4) x - (1/2) = 0

Étape 1 : Éliminer les fractions

Les dénominateurs sont 2 et 4. Le dénominateur commun est 4.

On multiplie toute l'équation par 4 :

4 × (1/2) x² + 4 × (3/4) x - 4 × (1/2) = 0

Ce qui donne :

2 x² + 3 x - 2 = 0

Étape 2 : Calcul du discriminant

Δ = b² - 4 a c = 3² - 4×2×(-2) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25

Étape 3 : Calculer les solutions

Solutions :

• x₁ = (-b - √Δ) / (2a) = (-3 - √25) / (4) = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2
• x₂ = (-b + √Δ) / (2a) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = ½

Conclusion

Les solutions de l'équation sont :

x = -2 et x = 1/2

Exercice pour toi :

Résous l'équation :

(2/3) x² - (1/3) x + (1/6) = 0

Pense à multiplier par le dénominateur commun pour éliminer les fractions avant de poursuivre la résolution.