Complexes et similitudes

Les complexes

Un complexe en mathématiques est une quantité composée d'un nombre réel (appelé partie réelle) et d'un autre nombre réel multiplié par l'unité imaginaire (i), appelé partie imaginaire. On écrit généralement un nombre complexe sous la forme :

z = a + bi

où :

• a est la partie réelle, un nombre réel appelé aussi "Re(z)"
• b est la partie imaginaire, "Im(z)"

Exemple : si z = 3 + 4i, alors la partie réelle est 3 et la partie imaginaire est 4.

Réponse : oui. Ici, a = 5, b = –2.

Les opérations sur les complexes

Les principales opérations sont :

• Addition : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Soustraction : (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
• Multiplication : (a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Division : (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi) × (c – di)] ÷ (c² + d²)

Attention à bien rationaliser le dénominateur dans la division.

La conjugaison d’un complexe

La conjugaison d’un nombre complexe z = a + bi est notée z̅ = a – bi. Elle consiste à changer le signe de la partie imaginaire.

Exemple : si z = 2 + 3i, alors z̅ = 2 – 3i.

Le module d’un complexe

Le module de z = a + bi, noté |z|, correspond à la distance entre le point (a, b) et l'origine dans le plan complexe :

|z| = √(a² + b²)

Exemple : pour z = 3 + 4i, |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Les similitudes et les transformations

Les similitudes comprennent :

• Les translations : ajouter un complexe à tous les points
• Les homothéties : multiplier tous les points par un réel positif
• Les rotations : multiplier par un nombre complexe de module 1 (ex : e^(iθ))

Pour réaliser une rotation de centre 0 et d’angle θ, on multiplie le complexe par e^(iθ), qui peut s’écrire avec la formule :

e^(iθ) = cosθ + i sinθ

Exemple : tourner un point z = 1 + i par 90° (π/2 radian) revient à calculer :

z' = z × e^(iπ/2) = (1 + i) × (0 + i) = (1 + i) × i = i + i² = i – 1

Solution : e^(iπ) = –1, donc :

z' = (1 + i) × (–1) = –(1 + i) = –1 – i

Résumé

Les complexes sont des nombres composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire, manipulés avec des opérations spécifiques. Les transformations géométriques comme les rotations peuvent s’exprimer par la multiplication par un nombre complexe de module 1.