Comprendre les fonctions logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté généralement ln(x), est la fonction inverse de l'exponentielle e^x. Cela veut dire que si ln(x) = y, alors x = e^y, où e est une constante mathématique appelée la base du logarithme naturel, environ égale à 2,71828.

Définition

La fonction ln : ℝ⁺ → ℝ est définie pour x > 0 et associe à chaque nombre positif x le nombre y tel que e^y = x.

Propriétés importantes

• ln(1) = 0 car e^0 = 1.
• ln(e) = 1 car e^1 = e.
• Pour x > 0, ln(xy) = ln(x) + ln(y). (Propriété de la somme)
• Pour x > 0 et a > 0, ln(x^a) = a * ln(x). (Propriété de la puissance)

Graphe de la fonction ln

Le graphe de ln(x) est une courbe qui croît lentement quand x augmente, passant par le point (1,0). Il diminue quand x approche 0 par la droite positive, tendant vers -∞.

Exercices pour vérifier la compréhension

1. Quelle est la valeur de ln(1) ?

2. Si ln(x) = 3, que vaut x ?

3. Simplifiez ln(2) + ln(5).

Réponses :

• 1. 0
• 2. x = e^3 ≈ 20,085
• 3. ln(2*5) = ln(10)