Continuité, Dérivabilité et Limites

1. La limite d'une fonction

La limite d'une fonction f(x) en un point a, notée limite quand x tend vers a, est la valeur que f(x) approche lorsque x se rapproche de a. si cette valeur existe et est unique, on dit que la limite en a existe.

Exemple : Si f(x) = 2x + 1, alors limite quand x tend vers 3 de f(x) est 7, car f(x) se rapproche de 7 lorsque x se rapproche de 3.

2. La continuité d'une fonction

Une fonction f est continue en un point a si :

• f(a) est défini (la valeur de la fonction en a existe)
• La limite de f(x) quand x tend vers a existe
• La limite de f(x) en a est égale à f(a)

En résumé, pour une fonction continue en a, il faut que la fonction ne "saute" pas ou ne "borde pas" le point a.

3. La dérivabilité d'une fonction

Une fonction f est dérivable en un point a si sa pente (tangent) en ce point existe. Cela veut dire que la limite du coefficient directeur des secantes quand le segment tend vers zéro existe.

Si f est dérivable en a, alors elle est aussi continue en a. mais l'inverse n'est pas toujours vrai : une fonction peut être continue sans être dérivable en ce point (par exemple, un "coud" ou une "orthogonalité").

4. Les liens entre limite, continuité et dérivabilité

• Si une fonction est dérivable en a, alors elle est continue en a.
• La continuité en a n'implique pas forcément la dérivabilité en a.

Exemple d'analyse :

Soit la fonction f(x) = |x| (la valeur absolue). :

• Elle est continue en 0 (pas de saut).
• Mais elle n'est pas dérivable en 0 (car la pente à gauche est de -1, à droite +1).

Petit exercice :

Vérifie si la fonction f(x) = x² est continue et dérivable en x=2.

Indice : Pour la limite, remplace x par 2 dans la fonction. Pour la dérivabilité, calcule la dérivée f'(x)=2x, puis évalue en 2.