Exercices sur les limites et la continuité

Exercice 1 : Calcul de limites

Soit la fonction f(x) = (2x + 3) / (x - 1).

1. Calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers 1 par la droite (x → 1+).
2. Calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers 1 par la gauche (x → 1-).
3. La limite de f(x) en 1 existe-t-elle ? Si oui, laquelle ?

Exercice 2 : Vérification de la continuité

La fonction g(x) est définie par :

g(x) = 3x + 2 pour x ≠ 2, et g(2) = 8.

1. Calculez la limite de g(x) lorsque x tend vers 2.
2. La fonction g est-elle continue en x = 2 ? Justifiez votre réponse.

Exercice 3 : Limite infinie

Étudiez la limite de la fonction h(x) = 1 / (x - 4) lorsque x tend vers 4.

1. Que se passe-t-il quand x s'approche de 4 par la droite ?
2. Que se passe-t-il quand x s'approche de 4 par la gauche ?
3. Quelle est la limite quand x tend vers 4 ?

Exercice 4 : Expression et limite

Considérons la fonction :

k(x) = (x^2 - 4) / (x - 2).

1. Factorisez le numérateur.
2. Calculez la limite de k(x) lorsque x tend vers 2.
3. Que peut-on dire de la continuité en x = 2 ?

Conseil : Rappels importants

• Pour calculer une limite quand x tend vers une valeur a, essayez de voir si vous pouvez simplifier l'expression.
• Si le dénominateur devient 0, faites attention : la limite peut être infinie ou n’exister pas.
• La fonction est continue en un point si elle est définie en ce point, que la limite en ce point existe et soit égale à la valeur de la fonction en ce point.