Comment déterminer la forme cartésienne d'une droite ou d'un plan ?

Pour déterminer la forme cartésienne, il faut connaître certains éléments, comme :

• Les coordonnées de points,
• Les vecteurs directeurs ou normaux,
• Les équations paramétriques ou vectorielles si disponibles.

Exemple : Droite dans le plan

Supposons que la droite passe par le point A(1, 2) et a pour vecteur directeur v = (3, 4).

La forme cartésienne de cette droite est obtenue en utilisant la formule :

(y - y0) = m (x - x0)

où (x₀, y₀) est un point connu de la droite et m est la pente. La pente m est le rapport des composantes du vecteur directeur :

m = vy / vx = 4 / 3

Donc, l'équation cartésienne devient :

(y - 2) = (4/3)(x - 1)

Pour une forme plus simple, on peut écrire :

3(y - 2) = 4(x - 1)

Ce qui donne en développant :

3y - 6 = 4x - 4

ou encore :

4x - 3y = -2

Exercice :

Une droite passe par le point P(2, 3) et a pour vecteur directeur v = (2, -1). Écris sa forme cartésienne.