Résolution de l'équation e^2x + e^x - 6 = 0

Nous allons résoudre cette équation en faisant une substitution pour simplifier l'expression.

Étape 1 : Faire une substitution

Posons y = e^x. Alors, e^2x = (e^x)² = y².

Ce qui transforme l'équation en : y² + y - 6 = 0.

Étape 2 : Résoudre l'équation quadratique en y

On a y² + y - 6 = 0, une équation quadratique classique.

Facteur ou formule du discriminant :
Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

Les racines :
y1 = ( -b - √Δ ) / (2a) = ( -1 - √25 ) / 2 = ( -1 - 5 ) / 2 = -6 / 2 = -3.
y2 = ( -1 + √25 ) / 2 = ( -1 + 5 ) / 2 = 4 / 2 = 2.

Étape 3 : Remplacer y par e^x

On a donc deux solutions possibles :
e^x = y1 = -3
e^x = y2 = 2

Étape 4 : Vérifier la valeur de e^x

e^x est toujours positif (car l'exponentielle n'est jamais négative).
Donc, seule la solution e^x = 2 est valable. La valeur de x est :

x = ln(2)

Réponse finale :

La solution de l'équation est x = ln(2).

Petite vérification :

Pour vérifier, remplaçons dans l'équation :
e^2x + e^x - 6 = 0
avec x = ln(2):
e^{2 * ln(2)} + e^ln(2) - 6 = ?

e^{2 * ln(2)} = (e^ln(2))² = 2² = 4.
e^ln(2) = 2.
Donc, 4 + 2 - 6 = 0, ce qui vérifie la solution.