Equation du second degré

Une équation du second degré a la forme générale : ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Objectif

Trouver les valeurs de x qui vérifient cette équation.

La formule du discriminant

On calcule d'abord le discriminant Δ (delta) grâce à la formule :
Δ = b² - 4 × a × c

Les différentes solutions selon Δ

• Si Δ > 0 : il existe deux solutions réelles et distinctes :

x₁ = ( -b - √Δ ) / ( 2a )

x₂ = ( -b + √Δ ) / ( 2a )

• Si Δ = 0 : il y a une seule solution réelle :

x = -b / ( 2a )

• Si Δ < 0 : il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes :

solutions : (-b ± i√|Δ|) / (2a)

Exemple

Considérons l'équation 2x² - 4x + 1 = 0.
Calculons Δ :
Δ = (-4)² - 4 × 2 × 1 = 16 - 8 = 8
Comme Δ > 0, il y a deux solutions :
x₁ = (4 - √8) / (4) et x₂ = (4 + √8) / (4)
avec √8 ≈ 2,83, on peut estimer :

• x₁ ≈ (4 - 2,83) / 4 ≈ 0,29
• x₂ ≈ (4 + 2,83) / 4 ≈ 1,71

Petit exercice pour toi

Résous cette équation : x² - 3x + 2 = 0.
Que valent ses solutions ?