Équation et inéquation du second degré

1. Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme :

ax² + bx + c = 0

où a, b et c sont des nombres, avec a ≠ 0.

Exemple : 2x² - 3x + 1 = 0

2. Résolution d'une équation du second degré

On calcule le discriminant Δ :

Δ = b² - 4a c

Selon la valeur de Δ :

• Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles :

x₁ = (-b - √Δ) / (2a)

x₂ = (-b + √Δ) / (2a)

• Si Δ = 0, l'équation a une solution unique :

x = -b / (2a)

• Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle.

3. Les inéquations du second degré

Une inéquation du second degré est une expression comme :

ax² + bx + c > 0

ou

ax² + bx + c < 0

Elle consiste à déterminer pour quelles valeurs de x l'expression est positive ou négative.

4. Comment résoudre une inéquation du second degré ?

1. Calculer Δ = b² - 4a c
2. Selon Δ, établir le tableau de signes :
1. Si Δ < 0, l'expression est toujours positive ou toujours négative selon le coefficient a.
2. Si Δ ≥ 0, déterminer les racines x₁ et x₂ :

x₁ = (-b - √Δ) / (2a), et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)

3. Étudier le signe de l'expression en fonction de la parabole (ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0), et les racines.

Exemple : Résoudre l'inéquation 2x² - 4x - 6 > 0

1. Calcul du discriminant :

Δ = (-4)² - 4×2×(-6) = 16 + 48 = 64

2. Les racines :

x₁ = (4 - √64) / (2×2) = (4 - 8) / 4 = -1

x₂ = (4 + 8) / 4 = 3

3. Le parabole est ouverte vers le haut (a = 2 > 0), donc :

l'expression est > 0 en dehors de l'intervalle [ -1 ; 3 ]

Réponse : x < -1 ou x > 3

Exercice pour toi :

Résous l'inéquation suivante :

x² - 5x + 6 > 0

Et donne la solution en précisant les intervalles.