Équations et inéquations dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)

Lorsqu'on parle de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), on parle de toutes les paires de nombres réels (x, y). C'est ce qu'on appelle le plan cartésien ou plan \(\mathbb{R}^2\).

1. Les équations dans \(\mathbb{R}^2\)

Une équation dans \(\mathbb{R}^2\) est une relation entre x et y, par exemple :
y = 2x + 1
Cela signifie que pour chaque valeur de x, y doit être égale à 2x + 1. Le groupe de tous les points (x, y) qui vérifient cette équation forme une droite dans le plan.

2. Les inéquations dans \(\mathbb{R}^2\)

Une inéquation est une relation où on utilise <, >, ≤ ou ≥, par exemple :
y < 2x + 1 ou y ≥ 3x - 2 .
Ces inéquations représentent une zone du plan, par exemple :

• Pour y < 2x + 1, on prend tout ce qui est en dessous de la droite y = 2x + 1.
• Pour y ≥ 3x - 2, on inclut la droite y = 3x - 2 et tout ce qui est au-dessus.

3. Représentation graphique

Pour dessiner une équation ou une inéquation dans le plan :

• Tracer la droite correspondante si c’est une équation (par exemple y = 2x + 1).
• Pour une inéquation, tracer la droite (y = 2x + 1) en trait plein si elle est ≤ ou ≥, ou en pointillé si elle est < ou >, puis colorier la zone qui vérifie l'inéquation.

Exemple :

Résoudre l'inéquation y > 2x :

• Tracer la droite y = 2x en trait en pointillé (car y > 2x exclut la droite).
• Colorier toutes les zones au-dessus de cette droite, car y est supérieur à 2x.

Cela permet de visualiser facilement quelles sont les solutions possibles dans le plan.