Étude de Fonction

L'étude d'une fonction consiste à analyser son comportement en fonction de sa variable. Cela permet de répondre à des questions telles que : où la fonction est-elle croissante ou décroissante ? y a-t-il des maximums ou minimums ? Quelles sont ses valeurs extrêmes ?

Étapes principales

1. Définir la fonction : connaître l'expression de la fonction f(x).
2. Calculer la dérivée : f'(x), pour analyser la croissance ou décroissance.
3. Déterminer le signe de f'(x) : pour savoir où la fonction est croissante ou décroissante.
4. Étudier les extremums : éventuellement en utilisant les points où f'(x) = 0 ou change de signe.
5. Analyser la concavité : en utilisant la dérivée seconde f''(x), si besoin.
6. Étudier la limite aux bornes : pour connaître le comportement en -∞ et +∞.

Exemple simple

Considérons la fonction f(x) = -x² + 4x.

1. Calcul de la dérivée : f'(x) = -2x + 4.
2. Pour connaître les extremums, on résout f'(x) = 0 : -2x + 4 = 0 → x = 2.
3. Intervalle de croissance/décroissance : - f'(x) > 0 si x < 2 → f est croissante sur ]-∞, 2[ - f'(x) < 0 si x > 2 → f est décroissante sur ]2, +∞[.
4. Calcul de la valeur en x = 2 : - f(2) = - (2)² + 4×2 = -4 + 8 = 4.
5. Conclusion : la fonction a un maximum local en (2, 4).

Petit exercice

Étudie la fonction f(x) = x³ - 3x + 1. Détermine ses intervalles de croissance et ses extremums.