Étude de fonction

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre d'un ensemble un unique nombre d'un autre ensemble. Par exemple, la fonction f(x) = 2x + 1 associe à chaque nombre x le nombre 2 fois x, puis on ajoute 1.

2. Comment étudier une fonction ?

Pour étudier une fonction, on regarde plusieurs aspects :

• Le domaine : quels sont les nombres sur lesquels la fonction est définie ?
• Le tableau de variation : comment la fonction monte-t-elle ou descend-elle ?
• Les extrema : quels sont ses maximums ou minimums locaux ou globaux ?
• Les solutions de l'équation : pour quelles valeurs f(x) = 0 ?
• La représentation graphique : comment est sa courbe ?

3. Exemple : Étudions la fonction f(x) = x² - 4x + 3

a) Le domaine

La fonction polynomiale est définie pour tous les nombres réels. Donc, le domaine est ℝ (tous les nombres réels).

b) La forme et le tableau de variation

On peut factoriser : f(x) = (x - 1)(x - 3).

Pour étudier la variation, on calcule la dérivée : f'(x) = 2x - 4.

f'(x) = 0 quand x = 2. C'est un point critique.

c) Signes de la dérivée

• Pour x < 2, f'(x) < 0, donc la fonction est décroissante.
• Pour x > 2, f'(x) > 0, donc la fonction est croissante.

d) Les extremums

À x = 2, la dérivée change de signe de négative à positive, donc il y a un minimum local en x = 2.

La valeur en ce point : f(2) = (2)² - 4×2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

e) La représentation graphique

La parabole ouvre vers le haut, avec un minimum en (2, -1), et elle coupe l'axe des abscisses en deux points trouvés en résolvant f(x)=0 :

f(x) = 0 ⇒ (x - 1)(x - 3) = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3.

Exercice pour vérifier

Étudie la fonction f(x) = -x² + 4x - 1 :

1. Détermine son domaine.
2. Calcule la dérivée et trouve ses points critiques.
3. Indique si la fonction a un maximum ou un minimum et où.