1. Définition et exemples

Une fonction polynôme est une fonction définie par une expression du type P(x) = a_n xⁿ + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, où les coefficients a_i sont des nombres réels et n est un entier naturel appelé degré du polynôme.

Exemple : P(x) = 2x³ - 4x + 1 est un polynôme de degré 3.

Une fonction rationnelle est une fonction qui peut s’écrire sous la forme R(x) = P(x) / Q(x), où P et Q sont des polynômes, et Q(x) ≠ 0.

Exemple : R(x) = (x² - 1) / (x + 2)

2. Étude d’une fonction polynôme

Pour étudier une fonction polynôme, on regarde notamment :

• Le signe (positif ou négatif)
• Les extrema (maximum ou minimum)
• Les racines (zéros du polynôme)
• Le comportement aux bornes (tendances quand x tend vers ±∞)

Exemple : étudions P(x) = x³ - 3x + 2

1. Calculons les racines : x³ - 3x + 2 = 0
2. Factorisons si possible : (x - 1)(x + 1)² = 0
3. Racines : x = 1 et x = -1
4. Étudions la dérivée : P'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
5. Les points critiques : x = 1 et x = -1
6. Étudions le signe de P'(x) :
   - Pour x < -1 : P'(x) > 0
   - Entre -1 et 1 : P'(x) < 0
   - Pour x > 1 : P'(x) > 0
   

3. Étude d’une fonction rationnelle

Pour une fonction rationnelle R(x) = P(x) / Q(x), on doit aussi étudier :

• Les racines de P(x) (zéros de la fonction)
• Les valeurs de x qui rendent Q(x) = 0 (points où R(x) n’est pas défini)
• Le comportement aux frontières / à l’infini

Exemple : R(x) = (x² - 1) / (x - 2)

1. Racines de P(x) : x² - 1 = 0 => x = ±1
2. Définie sauf pour x = 2 où Q(x) = 0
3. Étudier le comportement à l’infini : R(x) ≈ x² / x = x quand x → ±∞

4. Exercices pour vérifier la compréhension