Exercice : Étude d'une fonction exponentielle

Considérons la fonction f définie par :

f(x) = 3^x - 2

Questions :

1. Détermine le domaine de définition de la fonction f.
2. Étudie la croissance ou la décroissance de f en précisant si la fonction est monotone.
3. Calcule f(0), f(1) et f(-1).
4. Détermine la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ et -∞.

Indications pour t'aider :

• Pense à la base de l'exponentielle (ici 3) et à son signe.
• Souviens-toi que la fonction 3^x est toujours positive, car toute puissance positive d'un nombre positif est positive.
• Pour étudier la croissance ou la décroissance, regarde la dérivée ou analyse la fonction simplement.

Souligne la bonne réponse :

La fonction f est :

• a) Strictement croissante sur ℝ
• b) Strictement décroissante sur ℝ
• c) ni croissante ni décroissante

Solution :

Pour répondre à ces questions, voici quelques conseils :

• Le domaine de définition de f est ℝ, car toute puissance de 3 est définie pour tout réel.
• La fonction 3^x est toujours positive et c'est une fonction exponentielle croissante, donc f(x) = 3^x - 2 est aussi croissante.
• Calculons quelques valeurs :
  • f(0) = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1
  • f(1) = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1
  • f(-1) = 3^{-1} - 2 = (1/3) - 2 ≈ -1.666...
• Les limites :
  • Lorsque x tend vers +∞, 3^x tend vers +∞, donc f(x) tend aussi vers +∞.
  • Lorsque x tend vers -∞, 3^x tend vers 0, donc f(x) tend vers -2.

Réponse à la question de la croissance :

La fonction f est :

• a) Strictement croissante sur ℝ