Extension de la notion de limite

Dans les cours de mathématiques, la notion de limite permet de décrire le comportement d'une fonction quand l'entrée (x) s'approche d'une certaine valeur. On peut comprendre cette idée de plusieurs façons :

1. La limite quand x s'approche d'une valeur finie

Supposons que pour une fonction f(x), quand x se rapproche de a, la valeur de f(x) se rapproche de L. On écrit alors :

lim_{x → a} f(x) = L

Ce qui veut dire que, lorsque x est très proche de a, f(x) est proche de L.

2. La limite quand x tend vers l'infini

Par exemple, si lorsque x devient très grand, f(x) approche une valeur L, on écrit :

lim_{x → ∞} f(x) = L

Et de même, si x devient très petit (vers -∞), on peut étudier le comportement de la fonction dans ce cas.

3. Extensions de la limite :

• Limite infinie : Si f(x) devient très grand (positivement ou négativement) quand x s’approche de a, on dit que la limite est infinie ou négative infinie.
• Limite n'existe pas : Parfois, la fonction ne se rapproche d'aucune valeur précise quand x s’approche de a, ou arrive à deux valeurs différentes selon la façon dont on s’approche de a. Dans ce cas, on dit que la limite n’existe pas.

Exemple simple :

Considérons la fonction f(x) = 1/x. Que se passe-t-il lorsque x s’approche de 0 ?

Lorsque x approche 0 par la droite (x > 0), 1/x devient très grand (∞). Quand x approche 0 par la gauche (x < 0), 1/x devient très petit (-∞). La limite n’existe pas en 0, mais on peut parler de limites à droite et à gauche :

• lim_{x → 0⁺} 1/x = +∞
• lim_{x → 0^-} 1/x = -∞

Exercice pour vérifier :

Quelle est la limite de la fonction f(x) = 3x quand x approche 2 ?

Réponse attendue : La limite est 3 × 2 = 6, car la fonction est continue et linéaire.