Factorisation d'un polynôme

La factorisation d'un polynôme consiste à l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs plus simples. Cela permet souvent de mieux comprendre ses propriétés ou de résoudre des équations.

Étape 1 : Trouver les racines du polynôme

Une racine d'un polynôme P(x) est une valeur de x qui rend P(x) égal à zéro. Pour la trouver, on peut utiliser différentes méthodes, comme la recherche de racines évidentes, la division par un facteur ou la formule du discriminant pour les trinômes quadratiques.

Étape 2 : Factoriser en utilisant les racines

Une fois qu'on connaît une racine r, on peut factoriser le polynôme en utilisant la division polynomiale ou la méthode du facteur (x - r).

Exemple simple :

Considérons le polynôme P(x) = x² - 5x + 6

Étape 1 : Trouver les racines

• On cherche deux nombres dont la somme est -5 et le produit 6.
• Ces nombres sont -2 et -3 (car (-2) + (-3) = -5 et (-2) × (-3) = 6).

Étape 2 : Factoriser

Donc, on peut écrire :

P(x) = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3)

Vérification :

Développons :

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

On voit que le développement ne correspond pas à notre polynôme initial, car il manque un signe dans l'équation. La bonne factorisation est donc :

P(x) = (x - 2)(x - 3)

Résumé

• Trouvez les racines du polynôme.
• Pour chaque racine r, écrivez (x - r).
• Le polynôme est égal au produit de ces facteurs.

Exercice :

Factorisez le polynôme P(x) = x² + 7x + 12.

1. Quels sont ses racines ?
2. Écrivez la factorisation correspondante.