Factoriser l'expression : f(x) = x² - 2√(5x) + 5

Nous allons utiliser l'identité remarquable du carré de la somme.

Voici l'identité :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Notre objectif est de faire apparaître cette identité dans l'expression donnée.

Étape 1 : remarquer la structure de l'expression

f(x) = x² - 2√(5x) + 5

Étape 2 : écrire une expression qui ressemble à (a + b)²

Regardons le terme √(5x). On peut écrire :

• x = (√x)²
• √(5x) = √5 * √x

Étape 3 : poser une substitution pour simplifier

Posons : a = √x et b = √5. Alors :

• a² = x
• b² = 5

Étape 4 : exprimer l'expression en fonction de a et b

f(x) devient :

a² - 2ab + b²

Mais cet ensemble correspond à :

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Étape 5 : écrire la factorisation

Donc, l'expression initiale se factorise en :

(√x - √5)²

Conclusion :

La factorisation de f(x) = x² - 2√(5x) + 5 est :

f(x) = (√x - √5)²

Exercice pour vérifier

Développe (√x - √5)² et vérifie que tu retrouves l'expression initiale.