Résumé : Extension de la notion de limite

1. La limite d'une fonction en un point

La limite d'une fonction f(x) en un point a est la valeur que f(x) approche lorsque x se rapproche de a. Si cette limite existe, on note : lim (x → a) f(x) = L.

2. Limite en un point où la fonction n’est pas nécessairement défine

On peut étendre la notion de limite même si la fonction n'est pas définie en a ou si elle n'est pas continue. La limite ne dépend pas de la valeur de la fonction en a, mais seulement de la façon dont f(x) se comporte lorsque x s'approche de a.

3. Limite en l’infini

On étend la notion de limite à x qui tend vers +∞ ou -∞. Par exemple : lim (x → +∞) f(x) = L, si quand x devient très grand, f(x) approche L.

4. Exemple illustratif

Considérons f(x) = 1/x.

• Quand x approche 0 par la droite (x → 0+), f(x) devient très grand, donc lim (x → 0+) 1/x = +∞.
• Quand x approche 0 par la gauche (x → 0-), f(x) devient très grand négatif, donc lim (x → 0-) 1/x = -∞.

Ce qui montre que la limite peut dépendre du sens d’approche.

Exercice à vérifier

Détermine la limite de la fonction f(x) = (x² - 4)/(x - 2) lorsque x approche 2.

Réponse : La limite lorsque x approche 2 vaut... (réfléchissez et vérifiez si la limite existe ou si la fonction peut être simplifiée).