Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles

Les fonctions polynômes

Une fonction polynôme est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

• f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

où a_n, a_n-1, ..., a₀ sont des nombres appelés coefficients, et n est un entier naturel appelé degré du polynôme.

Exemple : f(x) = 2x³ - 4x + 5 est un polynôme de degré 3.

Les propriétés importantes des polynômes

• Ils sont définis pour tous les nombres réels : leur domaine est l'ensemble R.
• Le comportement de f(x) quand x devient très grand ou très petit dépend du degré n.

Les fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est une fonction qui s'écrit comme le quotient de deux polynômes :

f(x) = P(x) / Q(x)

où P(x) et Q(x) sont des polynômes, et Q(x) ≠ 0.

Exemple : f(x) = (x² - 1) / (x + 3).

Propriétés des fonctions rationnelles

• Leur domaine est tous les réels sauf les valeurs de x qui rendent Q(x) = 0 (car la division par zéro n’est pas définie).
• Ils peuvent présenter des asymptotes verticales (lorsque Q(x) = 0) ou horizontales (selon le comportement quand x → ±∞).

Exemple d'exercice

Donne la forme d'une fonction rationnelle dont le dénominateur est Q(x) = x - 2...

Réponse : f(x) = P(x) / (x - 2), où P(x) est un polynôme de ton choix (par exemple P(x) = x² + 3).

Vérifie que tu as compris :

1. Quelle est la différence principale entre une fonction polynôme et une fonction rationnelle ?

2. Donne un exemple de fonction rationnelle dont le domaine exclut x = 1.