La forme canonique d'une fonction

En mathématiques, especially en algèbre, la forme canonique d'une fonction ou d'un polynôme est une manière simplifiée ou standardisée de l’écrire. Pour un polynôme du second degré, comme ax² + bx + c, sa forme canonique permet de le présenter sous une forme qui met en évidence ses caractéristiques principales, comme son sommet.

Exemple : la parabole

Considérons le polynôme ax² + bx + c. Sa forme canonique est :

f(x) = a(x - α)² + β

où α et β sont des nombres que l’on calcule à partir de a, b, c.

Comment passer de la forme développée à la forme canonique ?

• On commence par compléter le carré :
• On factorise
a si nécessaire, puis on réécrit le carré parfait.

Exemple concret :

Considérons la fonction f(x) = 2x² + 8x + 6.

Étape 1 : Factoriser par 2 :

f(x) = 2(x² + 4x) + 6

Étape 2 : Compléter le carré dans les parenthèses :

x² + 4x peut s’écrire comme (x + 2)² - 4

donc :

f(x) = 2[(x + 2)² - 4] + 6

Étape 3 : Développer :

f(x) = 2(x + 2)² - 8 + 6

f(x) = 2(x + 2)² - 2

Donc, la forme canonique est :
f(x) = 2(x + 2)² - 2

Exercice :

Pour la fonction f(x) = x² - 6x + 5, écris-la en forme canonique.