La forme canonique d'une parabole

En mathématiques, la forme canonique d'une fonction du second degré (ou parabole) est une manière de l'écrire qui facilite la compréhension de ses caractéristiques, comme le sommet ou le point de vertex.

Forme générale

Une fonction quadratique s'écrit généralement comme ça :
y = ax² + bx + c

Forme canonique

On peut la transformer en cette forme :
y = a(x - α)² + β

où :

• α est l'abscisse du sommet (le point le plus haut ou le plus bas de la parabole)
• β est l'ordonnée du sommet

Comment passer de la forme générale à la forme canonique ?

On utilise la technique appelée "complément de carré". Cela consiste à réécrire l'expression en mettant en valeur un carré parfait.

Exemple :

pour y = 2x² + 8x + 5, on procède ainsi :

1. Factoriser par 2 le coefficient de x² : y = 2(x² + 4x) + 5
2. Compléter le carré pour x² + 4x :
• On calcule (4/2)² = 2² = 4
3. Réécrire l'expression :
• y = 2(x² + 4x + 4 - 4) + 5
4. Mettre en valeur le carré :
• y = 2((x + 2)² - 4) + 5
5. Développer si besoin :
• y = 2(x + 2)² - 8 + 5
6. Finalement :
• y = 2(x + 2)² - 3

Exercice :

Transforme la fonction y = x² + 6x + 10 en forme canonique.

Indice : Complète le carré pour x² + 6x.