Équation et inéquation du second degré dans ℝ

1. Équation du second degré

Une équation du second degré a la forme :

ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0

où a, b, c sont des nombres réels.

Pour résoudre cette équation, on calcule le discriminant :

Δ = b² - 4ac

• Si Δ > 0, il y a deux solutions réelles :

x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)

• Si Δ = 0, il y a une solution réelle double :

x = -b / (2a)

• Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle.

2. Inéquation du second degré

Une inéquation du second degré est de la forme :

ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0 ou ax² + bx + c ≥ 0

Pour résoudre, on utilise les racines de l'équation associée (ax² + bx + c = 0) et on étudie le signe du trinôme :

• Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
• Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas.

Exemple : résoudre x² - 3x + 2 < 0

1. Calcul du discriminant : Δ = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1 > 0
2. Solutions de l'équation : x₁ = (3 - 1)/2 = 1, x₂ = (3 + 1)/2 = 2
3. Comme a = 1 > 0, la parabole est vers le haut.
4. Le trinôme est négatif entre les racines donc la solution est : 1 < x < 2

Exercice rapide :

Résous l'équation : 2x² - 4x - 6 = 0

Calcule Δ, puis trouve les solutions.