Les domaines de définition d'un système

Le domaine de définition d'une expression ou d'une fonction est l'ensemble des valeurs possibles que l'on peut donner à la variable pour que l'expression ait un sens.

Exemple simple

Considérons la fonction f(x) = 1 / (x - 2).

Pour que cette expression soit définie, il faut que le dénominateur ne soit pas nul, c'est-à-dire :

• x - 2 ≠ 0

Donc :

• x ≠ 2

Le domaine de définition de f(x) est donc tous les nombres réels sauf 2, c'est-à-dire :

D(f) = ℝ \ {2}

Comment déterminer le domaine de définition ?

1. Regarder si l'expression comporte des divisions par une expression en x.
2. Vérifier que cette expression ne s'annule pas si elle est au dénominateur.
3. Regarder si l'expression comporte une racine carrée ou toute autre racine paire, et s'assurer que le contenu sous la racine est positif ou nul.
4. Pour une racine carrée : le contenu sous la racine doit être ≥ 0.

Exemple à pratiquer

Détermine le domaine de définition de la fonction suivante :

g(x) = √(x + 3) / (x - 1)

Indice

• Le contenu sous la racine doit être ≥ 0.
• Le dénominateur ne doit pas être égal à 0.

Réponse

Pour g(x), on a deux conditions :

1. x + 3 ≥ 0 → x ≥ -3
2. x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1

Donc, le domaine de définition est :

D(g) = [ -3 , +∞ [ sauf x ≠ 1

En notation en intervalle, cela donne :

[-3, +∞[ \ {1}

Petit exercice

Détermine le domaine de la fonction h(x) = √(4 - x²).

Conseil : la racine doit avoir un contenu positif ou nul.