Comprendre les Limites et la Continuité

1. Qu'est-ce qu'une limite ?

La limite d'une fonction quand x approche une certaine valeur consiste à déterminer à quoi la valeur de la fonction tend lorsque x se rapproche de cette valeur.

Par exemple, si la fonction f(x) = 2x + 3, quand x approche 1, la limite de f(x) est :

lim_x→1 (2x +3) = 2×1 + 3 = 5.

Ce qui signifie qu'en s'approchant de 1, la valeur de la fonction se rapproche de 5.

2. Qu'est-ce que la continuité ?

Une fonction est continue en un point si :

• Elle est définie en ce point (il existe une valeur de la fonction en ce point).
• La limite en ce point existe.
• La limite en ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point.

En résumé, une fonction est continue si on peut la tracer sans lever le crayon à ce point.

Exemple :

Considérons la fonction f(x) = x².

• Elle est définie partout.
• Sa limite quand x approche 2 est lim_x→2 x² = 4.
• Et f(2) = 4.
• Donc, f est continue en x=2.

Petit exercice :

Regarde la fonction g(x) = (x - 1)/(x - 1) pour x ≠ 1, et g(1) = 2.

Peux-tu déterminer si g est continue en x=1 ? Pourquoi ?