Leçon : La limite et la continuité

1. La limite d'une fonction

La limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers un point a, notée limite de f(x) lorsque x approche a, représente la valeur que f(x) se rapproche lorsque x se rapproche de a.
On ne regarde pas forcément la valeur de f(a), mais la tendance de f(x) quand on se rapproche de a.

Exemple :

Si f(x) = 2x + 1, alors limite de f(x) quand x tend vers 3 est 2 × 3 + 1 = 7.

2. La continuité d'une fonction

Une fonction f est dite continue en un point a si :

• f(a) est défini (la valeur f(a) existe) ;
• la limite de f(x) lorsque x approche a existe ;
• la limite de f(x) lorsque x approche a est égale à f(a).

En résumé, pour qu'une fonction soit continue en a, il faut qu'il n'y ait pas de « saut » ou « trou » en ce point.

Exemple :

La fonction f(x) = x² est continue en chaque point de R, car elle est définie partout, sa limite en un point a est a², et f(a) = a², donc la limite et la valeur sont égales.

3. Résumé

• Limite : tendance d'une fonction près d'un point.
• Continuité : la fonction ne doit pas faire de saut en ce point.

Petit exercice :

Considère la fonction f(x) = (x - 1) / (x - 1). Est-elle continue en x = 1 ? Justifie ta réponse.

Pense : f(x) est-elle définie en 1 ? La limite en 1 existe-t-elle ? La limite est-elle égale à f(1) ?