Introduction aux fonctions

Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble (appelé domaine) un seul élément d'un autre ensemble (appelé codomaine). En mathématiques, on note souvent une fonction f(x), où x appartient au domaine.

Par exemple, la fonction f(x) = 2x + 1 associe à chaque nombre x un autre nombre selon la règle "multiplier par 2 et ajouter 1".

Notions fondamentales

1. Domaine et image

• Domaine : ensemble des x pour lesquels la fonction est définie.
• Image ou valeur image : le nombre f(x) correspondant à un x donné.

2. Représentation graphique

La courbe d'une fonction f(x) dans un plan (x, y) donne visuellement la relation entre x et f(x).

3. Fonction simple et fonction composée

• Fonction simple : une seule opération à chaque x.
• Fonction composée : appliquer une fonction puis une autre, par exemple (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Propriétés importantes des fonctions

• Injectivité : si f(x₁) = f(x₂) alors x₁ = x₂. La fonction n’associe pas deux x différents à la même valeur.
• Surjectivité : chaque élément du codomaine a au moins un antécédent dans le domaine.
• Bijectivité : la fonction est à la fois injective et surjective.

Exemple :

La fonction f(x) = 2x est injective et surjective si son domaine est tous les réels, donc elle est bijective.

Étude de variation d'une fonction

Permet de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle.

Calcul du signe de la dérivée

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) < 0, alors f est décroissante.

Exemple : pour f(x) = x², la dérivée f'(x) = 2x. f est croissante pour x > 0 et décroissante pour x < 0.

Étude du signe, extremums et convexité

1. Signe de la fonction

On étudie où f(x) ≥ 0 ou ≤ 0 pour comprendre ses intervalles positifs ou négatifs.

2. Extremums locaux

Les points où la dérivée s'annule et change de signe sont des extremums (minimum ou maximum).

3. Convexité

f''(x) > 0 → la courbe est convexe (courbée vers le haut).
f''(x) < 0 → la courbe est concave.

Exercices pour vérifier votre compréhension