Calculer une limite en mathématiques

La limite d'une fonction f(x) quand x tend vers une valeur a est la valeur que f(x) approche quand x se rapproche de a.

Étapes pour calculer une limite

1. Remplacer x par a : Si en remplaçant directement x par a, on obtient une valeur finie, cette valeur est la limite.
2. Obtenir une indétermination : Si le résultat est une forme indéfinie comme 0/0 ou ∞/∞, il faut simplifier ou utiliser d'autres techniques.
3. Utiliser la factorisation ou la simplification : Parfois, il faut factoriser la fonction ou simplifier l'expression pour éliminer l'indétermination.
4. Utiliser la règle de l'hôpital : Si après simplification on a encore une forme indéfinie, on peut dériver le numérateur et le dénominateur séparément et recalculer la limite.

Exemple simple

Calculons la limite de la fonction f(x) = (x² - 1) / (x - 1) quand x tend vers 1.

• Remplacement direct : (1² - 1) / (1 - 1) = (1 - 1) / 0 = 0/0, forme indéfinie.
• Factoriser : x² - 1 = (x - 1)(x + 1)
• Simplifier : (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (pour x ≠ 1)
• Calculer la limite maintenant : lim x→1 x + 1 = 1 + 1 = 2

Donc, la limite de f(x) quand x tend vers 1 est 2.

Exercice à essayer

Calculer la limite de f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) quand x tend vers 2.

Indice : Factorisez le numérateur.