Comprendre la dérivabilité

En mathématiques, la dérivabilité d'une fonction est une notion importante qui concerne la possibilité de calculer sa dérivée en un point donné. La dérivée d'une fonction en un point donne la pente de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.

Définition de la dérivabilité

Une fonction f est dite dérivable en un point a si la limite suivante existe :

f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) - f(a)] / h

Cette limite, si elle existe, est appelée la dérivée de f en a et notée f'(a). C’est la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Exemples simples

• La fonction f(x) = x² est dérivable en tous points, car sa dérivée est f'(x) = 2x.
• La fonction f(x) = |x| (valeur absolue) n’est pas dérivable en x = 0, car la limite à gauche et à droite ne sont pas égales.

Critères de dérivabilité

Pour qu’une fonction soit dérivable en un point, il faut notamment qu’elle soit continue en ce point. Cependant, la continuité ne suffit pas toujours : il faut aussi que la limite de la différence quotient existe et soit finie.

Propriétés importantes

• Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
• La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : (f + g)’ = f’ + g’.
• La dérivée d’un produit : (f·g)’ = f’·g + f·g’.
• La dérivée d’un quotient : (f / g)’ = (f’·g - f·g’)/(g)², à condition que g ≠ 0.

Exercice pour vérifier votre compréhension

Considérez la fonction f(x) = 3x + 2. Montrez qu’elle est dérivable en tout point et calculez sa dérivée.

Solution possible : La fonction f(x) = 3x + 2 est une fonction affine. Sa dérivée est simplement la pente, c’est-à-dire 3. Elle est donc dérivable en tout point et sa dérivée est f'(x) = 3.