Polynôme du second degré

Définition

Un polynôme du second degré est une expression de la forme :

ax² + bx + c

avec a, b, c des nombres réels et a ≠ 0.

Les principales caractéristiques

• Le coefficient a influence la courbure de la parabole.
• Le sommet de la parabole est donné par :
• x_sommet = -b / (2a)
• y_sommet = f(x_sommet)
• Le point où la parabole touche l'axe des x est appelé racine(s).

Les racines d’un polynôme du second degré

Les racines sont les solutions de l’équation :

ax² + bx + c = 0

Le discriminant Δ = b² - 4ac :

• Si Δ > 0, il y a deux racines différentes.
• Si Δ = 0, il y a une racine unique (racine double).
• Si Δ < 0, il n'y a pas de racines réelles.

Formule des racines

Les racines s’obtiennent avec la formule :

x₁, x₂ = (-b ± √Δ) / (2a)

Exemple

Considérons le polynôme : 2x² - 4x + 1

• a = 2, b = -4, c = 1
• Δ = (-4)² - 4*2*1 = 16 - 8 = 8 > 0
• Racines : x₁ = (4 + √8) / 4, x₂ = (4 - √8) / 4

Vérification

Pour vérifier si une valeur x est une racine, il suffit de substituer dans l’expression et voir si le résultat est 0.

Exercices : Trouver les racines de 3x² + 6x - 9.