Comment déterminer si une fonction est continue ?

Une fonction est dite continue en un point si l'on peut tracer son graphe sans lever le crayon. Plus précisément, cela signifie :

• La fonction est définie en ce point (elle possède une valeur).
• La limite de la fonction quand on s'approche de ce point existe.
• La limite est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Pour vérifier la continuité en un point a, on peut suivre ces étapes :

1. Vérifier que la fonction est définie en a (f(a) existe).
2. Calculer la limite de f(x) lorsque x approche a (limite à gauche et à droite). Si elles sont égales, la limite existe.
3. Comparer la limite à la valeur de la fonction en a. Si elles sont égales, la fonction est continue en a.

Exemple

Considérons la fonction f(x) = 2x + 1.

Pour vérifier si elle est continue en x = 3 :

• f(3) = 2×3 + 1 = 7. La fonction est définie en 3.
• limite quand x → 3 : lim (x→3) 2x + 1 = 2×3 + 1 = 7.
• La limite est égale à la valeur en 3 : 7.

Donc, la fonction est continue en x=3.

Exercice

Vérifie si la fonction f(x) = x² est continue en x = 2 :

• Quel est f(2) ?
• Quelle est la limite de f(x) quand x → 2 ?
• Les deux valeurs sont-elles égales ?