La continuité

En mathématiques, la notion de continuité concerne la façon dont une fonction se comporte lorsqu'on se rapproche d'un point précis.

Définition simple

Une fonction f est dite continue en un point a si la valeur de la fonction en ce point, f(a), est bien définie, et si, lorsque l'on s'approche de a avec des valeurs x proches de a, alors f(x) s'approche de f(a). En d'autres termes, pas de saut ou de rupture à ce point.

Critère de continuité en un point

Pour qu'une fonction f soit continue en un point a, trois conditions doivent être réunies :

• f(a) doit être défini (la valeur doit exister).
• La limite de f(x) lorsque x tend vers a doit exister.
• La limite de f(x) lorsque x tend vers a doit être égale à f(a).

Cela se note souvent :
lim_x→a f(x) = f(a)

Exemple

Considérons la fonction f(x) = 2x + 1. Elle est continue pour tous les nombres réels, car elle est une fonction polynomiale, qui ne présente pas de sauts ou de trous.

Vérification d'une continuité

Supposons que vous ayez une fonction définie par :

• f(x) = x² si x ≠ 2,
• f(2) = 5.

Pour vérifier si cette fonction est continue en x=2, il faut vérifier si :

• f(2) est défini (oui, c'est 5).
• La limite de f(x) quand x approche 2 existe (limite quand x→2 de x² = 4).
• f(2) = 5 doit être égal à cette limite (ce qui n'est pas le cas ici).

Donc, la fonction n'est pas continue en x=2 car 5 ≠ 4.

Exercice

Vérifiez si la fonction f(x) = 1/x est continue en x=1.