La continuité en un point

La continuité en un point concerne la façon dont une fonction se comporte autour de ce point. Plus précisément, une fonction est dite continue en un point si la limite de la fonction lorsque l'on s'approche de ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Définition formelle

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant un point a. La fonction f est continue en a si :

• f(a) est définie (la valeur de la fonction en a existe).
• La limite de f(x) lorsque x tend vers a existe.
• La limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a).

En résumé : f est continue en a si lim_x→a f(x) = f(a).

Exemple

Considérons la fonction :

• f(x) = x²

Elle est continue en tout point de la droite réelle, notamment en a = 2, car :

• f(2) = 4
• lim_x→2 x² = 4

Et donc, lim_x→2 f(x) = f(2) = 4 → la fonction est continue en 2.

Petit exercice pour vérifier

Selon la définition, la fonction f(x) = 1/x est-elle continue en a = 1 ? Pourquoi ?

Réfléchis : la fonction est-elle définie en a = 1 ? La limite de f(x) lorsque x tend vers 1 existe-t-elle ?