La loi binomiale

La loi binomiale est une loi de probabilité qui permet de modéliser le nombre de succès dans une série d'expériences indépendantes identiques, où chaque expérience a deux résultats possibles : succès ou échec.

Situation typique

Supposons que l'on répète n fois une expérience, et que la probabilité d'obtenir un succès à chaque fois est p. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès parmi ces n essais.

Formule de la loi binomiale

La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par :

P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 - p)n - k

où :

• C(n, k) est le coefficient binomial, aussi noté n choose k, qui se calcule par :

C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!}

avec n! la factorielle de n.

Exemple

Supposons que l'on lance une pièce de monnaie 10 fois, et que la probabilité d'obtenir face à chaque lancer est p = 0,5. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir exactement 6 faces :

P(X = 6) = C(10, 6) × (0,5)6 × (0,5)4

Résumé

• Utilisée pour modéliser des expériences à deux issues (succès/échec).
• Se base sur la formule avec le coefficient binomial.
• Permet de calculer la probabilité d’un nombre précis de succès.