Le logarithme népérien (ln)

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction inverse de l'exponentielle de base e, où e est une constante mathématique approximativement égale à 2,71828.

Définition

Pour tout nombre réel positif x, l'écriture ln(x) désigne le logarithme népérien de x, c'est-à-dire la puissance à laquelle on doit élever e pour obtenir x :

ln(x) = y
si et seulement si e^y = x

Propriétés importantes

• ln(1) = 0, car e⁰ = 1
• ln(e) = 1, car e¹ = e
• ln(xy) = ln(x) + ln(y)
• ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
• ln(x^a) = a × ln(x), où a est un réel

Exemple discuté

Calculez ln(7). Cela revient à répondre : à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir 7 ?

On peut utiliser une calculatrice ou s’appuyer sur des valeurs approchées :

• ln(7) ≈ 1,9459

Étape pour vérifier

Pour vérifier, vous pouvez faire :

Calculer e^ln(7) ≈ e^1,9459 ≈ 7

Petit exercice

Calculez le logarithme népérien de 10, c'est-à-dire ln(10).

Indice : ln(10) ≈ 2,303