Les calculs matriciels

Introduction

Les matrices sont des tableaux de nombres disposés en lignes et colonnes. Elles servent à représenter des données, des systèmes d'équations, ou encore à effectuer des transformations géométriques. Les calculs matriciels comprennent principalement l'addition, la soustraction, la multiplication, et parfois l'inversion d'une matrice.

1. Addition et soustraction de matrices

Deux matrices doivent avoir la même dimension (m lignes et n colonnes) pour pouvoir être additionnées ou soustraites.

• Pour additionner deux matrices A et B, on additionne leurs éléments correspondants :

Si A = (a_ij) et B = (b_ij), alors A + B = (a_ij + b_ij).

• Exemple :

Soient A =
[ 1 2
3 4 ]
et B =
[ 5 6
7 8 ]
alors :

A + B =
[ (1+5) (2+6)
(3+7) (4+8) ] =
[ 6 8
10 12 ]

2. Multiplication d'une matrice par un scalaire

Multiplier une matrice A par un nombre k revient à multiplier chaque élément de A par k.

Exemple : Si A =
[ 1 2
3 4 ] et k = 3, alors :

k × A =
[ 3 6
9 12 ]

3. Multiplication de matrices

Les matrices A (m x p) et B (p x n) peuvent être multipliées, leur produit C = AB est une matrice (m x n).

Pour calculer l'élément c_ij de C, on fait la somme :

c_ij = a_i1 × b_1j + a_i2 × b_2j + ... + a_ip × b_pj

Ce qui signifie qu'on multiplie chaque élément de la ligne i de A par l'élément correspondant de la colonne j de B, puis qu'on additionne ces produits.

Exemple :

Soit A :

[ 1 2 
 3 4 ]

et B :

[ 5 6 
 7 8 ]

Calculons le produit AB :

• c₁₁ = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19
• c₁₂ = 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22
• c₂₁ = 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43
• c₂₂ = 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50

Donc, AB =
[ 19 22
43 50 ]

4. La matrice identité

C'est une matrice spéciale, notée I, qui a 1 sur la diagonale principale et 0 partout ailleurs. Elle a la propriété suivante :

• Pour toute matrice A (de même dimension que I),
  A × I = I × A = A.

Exemple d'une matrice identité 2x2 :

[ 1 0 
 0 1 ]

5. L'inverse d'une matrice

Une matrice carrée A a un inverse noté A⁻¹ si :

• Le produit A × A⁻¹ et A⁻¹ × A est la matrice identité.

Ce qui signifie qu'en multipliant une matrice par son inverse, on revient à la matrice identité.

Note : La recherche de l'inverse n'est possible que pour certaines matrices (carrées, non singulières).

Conclusion

Les calculs matriciels sont essentiels en mathématiques et en physique. Apprenez bien les règles d'addition, multiplication, et les propriétés de la matrice identité et de l'inverse pour manipuler efficacement les matrices.

Petit exercice pour vérifier votre compréhension

Soient les matrices :

A = [ 2 3 
 1 4 ]

B = [ 5 0
2 1 ]

Calculez :

1. l'addition A + B
2. le produit AB
3. le double de la matrice A (multiplication par 2)