Les groupes et les entiers naturels

En mathématiques, un groupe est un ensemble avec une opération qui respecte certaines règles :

• Fermeture : Le résultat de l'opération entre deux éléments du groupe est aussi dans le groupe.
• Associativité : (a * b) * c = a * (b * c) pour tous a, b, c.
• Élément neutre : Il existe un élément e tel que a * e = a pour tout a.
• Inverse : Pour chaque élément a, il existe un élément a⁻¹ tel que a * a⁻¹ = e.

Les entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...) avec l'addition forment un monoid (car il y a un élément neutre 0 et l'addition est associative), mais pas un groupe car les entiers naturels n'ont pas tous un inverse pour l'addition (par exemple, il n'y a pas d'entier naturel qui ajouté à 3 donne 0).

Exemple :

• 3 + 2 = 5 (toujours un entier naturel)
• 0 est l'élément neutre pour l'addition
• Mais il n'existe pas d'entier naturel x tel que 3 + x = 0

Exercice : Vérifie si les entiers relatifs (… -2, -1, 0, 1, 2, …) avec l'addition forment un groupe. Pourquoi ?