Les limites et les tableaux de variation

1. Les limites

Les limites permettent d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante tend vers une certaine valeur, ou vers l'infini.

Les limites en un point

• Si f(x) se rapproche d'une valeur L lorsque x tend vers a, on écrit :

lim_x→a f(x) = L

• Exemple : lim_x→2 (x²) = 4

Les limites en l'infini

• On étudie le comportement de f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞.
• Exemple : lim_x→+∞ (1/x) = 0

2. Les tableaux de variation

Les tableaux de variation permettent de connaître où une fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses maximums et minimums locaux.

Comment construire un tableau de variation ?

1. Étudier la dérivée f' pour déterminer le signe de la fonction.
2. Repérer les points critiques où f' s'annule ou n'existe pas.
3. Analyser le signe de f' sur chaque intervalle pour savoir si f est croissante ou décroissante.
4. Compléter le tableau avec ces informations et déterminer les extremums locaux.

Exemple simple

Considérons la fonction f(x) = x³ - 3x + 1.

• Calculons la dérivée : f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1)
• Les points critiques : f'(x) = 0 lorsque x = ±1.
• Étudier le signe de f' :
  • Pour x < -1, f'(x) > 0 → f est croissante.
  • Pour -1 < x < 1, f'(x) < 0 → f est décroissante.
  • Pour x > 1, f'(x) > 0 → f est croissante.

Résumé

• Les limites permettent d'analyser le comportement d'une fonction aux extrémités ou en un point.
• Les tableaux de variation aident à visualiser où la fonction monte ou descend, et à repérer ses extremums.