Limites du logarithme népérien (ln)

Le logarithme népérien, noté ln(x), est la fonction inverse de l'exponentielle e^x. Voici quelques limites importantes :

1. Limite lorsque x tend vers 0 par la droite (x → 0⁺)

Attention, ln(x) n'est défini que pour x > 0. Quand x s'approche de 0 par la droite, ln(x) tend vers -∞. En notation :

lim_x→0⁺ ln(x) = -∞

Exemple : si on prend x = 1/n avec n → +∞, alors :

ln(1/n) = -ln(n) → -∞

2. Limite lorsque x tend vers +∞

Lorsque x devient très grand, ln(x) tend vers +∞.

lim_x→+∞ ln(x) = +∞

Exemple : si x = eⁿ avec n → +∞, alors :

ln(eⁿ) = n → +∞

3. Résumé des limites

• lim_x→0⁺ ln(x) = -∞
• lim_x→+∞ ln(x) = +∞

Petit exercice de vérification

Calculez la limite de ln(1/n) lorsque n tend vers +∞. Que constatez-vous ?

Indice : utilisez la propriété suivante : ln(1/n) = -ln(n).