Linéarisation de la fonction sin 3x

La linéarisation d'une fonction consiste à approcher cette fonction par une droite près d'un point spécifique, généralement pour simplifier les calculs ou comprendre son comportement local.

Objectif :

Approcher sin 3x par une droite tangente en un point x = a.

Formule de la linéarisation :

Si la fonction f(x) est différentiable en a, sa linéarisation en x = a est donnée par :
f(x) ≈ f(a) + f'(a) × (x - a)

Application à sin 3x :

Soit f(x) = sin 3x. La dérivée est f'(x) = 3 cos 3x.
La linéarisation en un point a est donc :
sin 3x ≈ sin 3a + 3 cos 3a × (x - a)

Exemple :

Prenons a = 0.
On calcule : - f(0) = sin 0 = 0 - f'(0) = 3 cos 0 = 3 - La linéarisation près de 0 est :
sin 3x ≈ 0 + 3 × 1 × (x - 0) = 3x
Donc, près de 0, sin 3x ≈ 3x

Conseil :

Utilisez cette approximation pour estimer la valeur de sin 3x lorsque x est proche de a. Plus x est proche de a, plus cette approximation est précise.