Le produit scalaire

Le produit scalaire est une opération mathématique qui permet de multiplier deux vecteurs et d'obtenir un nombre (un scalaire). Il est souvent utilisé en géométrie pour connaître certains angles ou longueurs.

Comment calcule-t-on le produit scalaire ?

Si on a deux vecteurs, par exemple u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃), leur produit scalaire est :

u • v = u₁ × v₁ + u₂ × v₂ + u₃ × v₃

Ce qui veut dire : on multiplie chaque composante du vecteur u par la composante correspondante de v puis on additionne tous ces résultats.

Exemple

Si u = (2, 3, 4) et v = (1, 0, -1), alors :

• 2 × 1 = 2
• 3 × 0 = 0
• 4 × (-1) = -4

Le produit scalaire u • v = 2 + 0 - 4 = -2

Pourquoi utiliser le produit scalaire ?

• Pour calculer l'angle entre deux vecteurs en utilisant la formule :

cos(θ) = (u • v) / (|u| × |v|)

• pour voir si deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires). En effet, si leur produit scalaire est égal à 0, ils sont perpendiculaires.

Exercice simple

Calcule le produit scalaire de u = (3, -2, 5) et v = (1, 4, 0). N'oublie pas de multiplier chaque composante et de faire la somme !