Qu'est-ce que cela signifie de démontrer qu'une fonction est une application ?

Une « fonction » est une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ un seul élément d’un ensemble d’arrivée. Quand on dit « démontrer qu'une fonction est une application » ou qu'elle est une fonction, cela veut dire qu'on doit vérifier qu’elle respecte bien cette règle.

Ce qu'il faut prouver :

• Pour chaque élément de l'ensemble de départ, il existe un seul et unique élément dans l'ensemble d’arrivée.

En d’autres termes, il faut vérifier :

1. Que pour chaque valeur d’entrée, il y a une valeur de sortie bien définie.
2. Que cette valeur de sortie est unique (il n’y a pas deux valeurs différentes pour la même entrée).

Exemple simple :

Supposons qu’on ait la règle :

f(x) = 2x + 3

Pour démontrer que cette règle définit une application (une fonction), il faut montrer que :

• Pour chaque nombre x, on peut calculer précisément 2x + 3.
• Pour un même x, la valeur f(x) est unique.

Dans ce cas, c’est évident car l’expression est claire et ne peut pas donner deux résultats différents pour le même x. Donc, cette règle est bien une fonction.

Exercice pour vérifier :

Considère la règle suivante :
g(x) = √x (la racine carrée). Peux-tu expliquer pourquoi g est une fonction ?