Primate de 5x * e^(x^2) + 1

Pour trouver la primitive (ou antiderivée) de la fonction f(x) = 5x * e^(x^2) + 1, on peut procéder étape par étape :

1. Regarder chaque terme séparément :
• Primitve de 5x * e^(x^2)
• Primitve de 1
2. La primitive de 1 est simplement x, car la dérivée de x est 1.
3. Concentrons-nous sur 5x * e^(x^2). Ici, on peut repérer une substitution :

Remarque importante :

Note : La présence de e^(x^2) indique souvent l'utilisation d'une substitution comme u = x^2. Mais ici, on voit aussi 5x qui ressemble à la dérivée de x^2 (car la dérivée de x^2 est 2x).

Réflexion :

Si on pose u = x^2, alors du = 2x dx, ce qui implique que x dx = du/2.

Application :

On a la fonction : 5x * e^(x^2). Si on remplace x^2 par u, alors :

• x dx = du/2, alors :
• le terme devient 5 * e^u * (du/2) = (5/2) * e^u du.

Donc, la primitive de 5x * e^(x^2) est : (5/2) * ∫ e^u du = (5/2) * e^u + C, où C est une constante.

Retour à la variable x :

Remplacer u par x^2, on obtient :

Primitve = (5/2) * e^(x^2) + C

Enfin, on ajoute la primitive de 1 :

Primitve totale = (5/2) * e^(x^2) + x + C

---

Réponse finale :

La primitive de 5x * e^(x^2) + 1 est :

F(x) = (5/2) * e^(x^2) + x + C

Petit exercice :

Vérifie en dérivant F(x) si tu retrouves ta fonction initiale f(x).