Relation entre vecteur directeur, parallélisme et équation paramétrique

1. Le vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui indique sa direction. Par exemple, pour une droite dans le plan, si la droite passe par un point A(x₁, y₁) et a un vecteur directeur v = (a, b), alors tous les points M(x, y) de cette droite vérifient que leur position relative à A est donnée par :

x = x₁ + t*a

y = y₁ + t*b

où t est un nombre réel appelé "paramètre".

2. Le parallélisme

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire que l'un peut s'obtenir en multipliant l'autre par un nombre réel. Par exemple, si la droite 1 a un vecteur directeur v₁ et la droite 2 un vecteur v₂, alors :

v₁ = λ * v₂, avec λ un réel non nul.

Cela veut dire que les deux vecteurs ont la même direction.

3. L'équation paramétrique

Pour une droite, l'équation paramétrique donne tous les points M(x, y) de la droite en fonction d'un paramètre t :

x = x₀ + t*a

y = y₀ + t*b

où (x₀, y₀) est un point de la droite, et (a, b) est un vecteur directeur.

Si deux droites ont des équations paramétriques avec des vecteurs directeurs proportionnels, alors elles sont parallèles.

Exemple rapide pour vérifier

Supposons que la première droite a pour équation paramétrique :

x = 2 + 3t

y = 1 + 4t

et la deuxième :

x = 0 + 6s

y = 2 + 8s

Les vecteurs directeurs sont (3, 4) pour la première et (6, 8) pour la seconde. Comme (6, 8) = 2 * (3, 4), ces deux droites sont parallèles.