Révision : Barycentre de 2 points et 3 points pondérés

1. Barycentre de 2 points pondérés

Le barycentre de deux points A et B, avec des poids respectifs m₁ et m₂, se trouve à une étape intermédiaire entre eux, en tenant compte de leurs poids. La formule pour trouver ses coordonnées — si A a pour coordonnées (x_A, y_A) et B pour (x_B, y_B) — est la suivante :

Les coordonnées du barycentre G sont :

• x_G = (m₁×x_A + m₂×x_B) / (m₁ + m₂)
• y_G = (m₁×y_A + m₂×y_B) / (m₁ + m₂)

Cela veut dire que le barycentre est une moyenne pondérée des coordonnées des deux points, chaque point étant pesé par son poids.

2. Exemple pour vérifier

Supposons que : - A(2, 4) avec un poids m₁ = 3 - B(8, 10) avec un poids m₂ = 2 Calculons le barycentre G :

• x_G = (3×2 + 2×8) / (3 + 2) = (6 + 16) / 5 = 22 / 5 = 4.4
• y_G = (3×4 + 2×10) / 5 = (12 + 20) / 5 = 32 / 5 = 6.4

Le barycentre G a pour coordonnées (4.4, 6.4).

3. Barycentre de 3 points pondérés

Pour trois points A, B et C avec des poids respectifs m₁, m₂ et m₃, la formule est une extension :

Coordinates du barycentre G :

• x_G = (m₁×x_A + m₂×x_B + m₃×x_C) / (m₁ + m₂ + m₃)
• y_G = (m₁×y_A + m₂×y_B + m₃×y_C) / (m₁ + m₂ + m₃)

Ici aussi, on fait une moyenne pondérée selon les poids de chaque point.

4. Exemple pour le barycentre de 3 points

Supposons que : - A(1, 2) avec m₁ = 2 - B(5, 4) avec m₂ = 3 - C(3, 8) avec m₃ = 1 Calculons :

• x_G = (2×1 + 3×5 + 1×3) / (2 + 3 + 1) = (2 + 15 + 3) / 6 = 20 / 6 ≈ 3.33
• y_G = (2×2 + 3×4 + 1×8) / 6 = (4 + 12 + 8) / 6 = 24 / 6 = 4

Le barycentre G est donc à environ (3.33, 4).

En résumé :

• Le barycentre d’un groupe de points est une moyenne pondérée de leurs coordonnées, avec les poids qui représentent leur importance.
• Plus le poids d’un point est grand, plus le barycentre sera proche de ce point.

Exercice :